Dissertation Gerald Fischer

Geometrische Observablen

Betreuer: Prof. Dr. Ernst Werner
Abgabedatum: 15.7.1996
Tag des Kolloquiums: 2.10.1996
Prüfungsausschuß:
  Vorsitzender: Prof. Dr. A. Penzkofer
  1. Gutachter: Prof. Dr. E. Werner
  2. Gutachter: Prof. Dr. G. Obermair
  Weiterer Prüfer: Prof. Dr. D. Strauch

Abstract

Die Aufgabe der Theoretischen Physik ist die Erstellung mathematischer Theorien für physikalische Phänomene. Zentrale Bedeutung kommt dabei der mathematischen Fassung des der Physik zugrundeliegenden Phänomens der Wechselwirkung zu. Dies ist das übergeordnete Ziel der vorliegenden Arbeit. Der Weg, der dazu eingeschlagen wurde, beruht auf der Verknüpfung zweier mathematischer Theorien, der Geometrie und der Quantentheorie.

Die Philosophie der Quantentheorie als der theoretische Aufbereitung der Quantenphysik ist, daß die gesamte Information über ein physikalisches System in einer Observablenalgebra gespeichert ist. Die Unschärferelationen, welche unmittelbare Folgen aus der Verknüpfung von Messung und Wechselwirkung in der Quantenphysik sind, verschlüsseln die Information über die Wechselwirkung in der Nichtkommutativität der Observablenalgebren. Die bilineare Struktur auf dem Erzeugendensystem einer Observablenalgebra, welche das Ideal der Relationen liefert, wird deshalb als die Wechselwirkungsstruktur der Observablenalgebra bezeichnet.

Die Aufgabe einer mathematischen Wechselwirkungstheorie reduziert sich damit auf das Angeben einer Methode zur Konstruktion von Wechselwirkungsstrukturen. In dieser Arbeit wird dazu die Geometrie, die Theorie der Messung geometrischer Objekte, verwendet. Geometrien sind Isomorphismen zwischen zueinander dualen Räumen geometrischer Felder. Diese werden zur Deformation der Algebra der globalen Schnitte in der Strukturgarbe der zugrundeliegenden Mannigfaltigkeit verwendet. Dies bedeutet den Übergang von einer kommutativen zu einer nichtkommutativen Observablenalgebra geometrischer Felder, deren Wechselwirkungsstruktur durch eine Geomtrie bestimmt ist. Die Elemente dieser Observablenalgebren heißen deshalb geometrische Observablen. Die Geometrien auf Hauptfaserbündeln, welche man den Eichäquivalenzklassen von Zusammenhängen zuordnen kann, liefern Wechselwirkungsstrukturen im Rahmen der Eichtheorie, was interessante Anwendungsmöglichkeiten für das entworfene Konzept eröffnet.